Alla 92 formler som behövs på högskoleprovets kvantitativa del — XYZ, KVA, NOG och DTK — med ett räknat exempel till varje och den fälla som brukar kosta poäng.
Provet delar inte ut något formelblad. Det som inte sitter i huvudet finns inte under provpassen, och en glömd formel kostar hela uppgiften oavsett hur bra du räknar i övrigt.
Det goda i det: mängden är liten och stängd. Det är den här listan, inte mer. Hur många poäng det ger beror på var du står idag — det kan ingen sida veta, och vi tänker inte gissa.
10 formler
Parentes → potens → multiplikation och division → addition och subtraktion
Multiplikation går före addition, alltid.
Exempel: 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14, inte 20.
Fallgrop: Står bara plus och minus räknas det från vänster: 5 − 3 + 2 = 4, inte 5 − 5 = 0.
(−) · (−) = (+) (−) · (+) = (−)
Två minustecken tar ut varandra, ett ensamt blir kvar.
Exempel: (−3) · (−4) = 12 medan (−3) · 4 = −12.
Fallgrop: −3² är −9, men (−3)² är 9. Utan parentes gäller kvadreringen bara talet, inte minustecknet.
Multiplicera eller dividera täljare OCH nämnare med samma tal
Värdet ändras inte — bara skrivsättet.
Exempel: 6/8 förkortas med 2 till 3/4.
Fallgrop: Man får bara multiplicera och dividera, aldrig addera eller subtrahera. 6/8 är inte 5/7.
Gemensam nämnare först, addera sedan täljarna
Nämnarna måste vara lika innan något adderas.
Exempel: 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12.
Fallgrop: Nämnarna adderas aldrig. 1/3 + 1/4 är inte 2/7.
täljare · täljare / (nämnare · nämnare)
Ingen gemensam nämnare behövs — förkorta hellre före än efter.
Exempel: 2/3 · 3/5 = 6/15 = 2/5.
Fallgrop: Multiplikation med ett bråk under 1 gör talet MINDRE. Det bryter mot vanan att gånger betyder mer.
Multiplicera med det omvända bråket
Vänd på bråket du delar MED, aldrig på det första.
Exempel: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8.
Fallgrop: Division med ett bråk under 1 gör talet STÖRRE: 6 ÷ 1/2 = 12.
1/2 = 0,5 = 50 % 1/4 = 0,25 = 25 % 1/5 = 0,2 = 20 %
De vanligaste omvandlingarna sparar tid i varje kvantuppgift.
Exempel: 3/8 = 0,375 = 37,5 %.
Fallgrop: 1/3 går inte jämnt ut (0,333…). Avrunda sist, aldrig mitt i en uträkning.
a : b betyder att helheten delas i a + b lika delar
Räkna ut vad EN del är, multiplicera sedan upp.
Exempel: 1 200 kr i förhållandet 2:3 ger 5 delar à 240 kr, alltså 480 och 720.
Fallgrop: 2:3 betyder inte att den ena är två tredjedelar av summan, utan två femtedelar.
2: jämnt tal · 3: siffersumman delbar med 3 · 5: slutar på 0 eller 5 · 9: siffersumman delbar med 9
Snabbaste sättet att förkorta ett bråk eller hitta en faktor.
Exempel: 261 har siffersumman 2 + 6 + 1 = 9, så talet är delbart med både 3 och 9 (261 = 9 · 29).
Fallgrop: Delbarhet med 4 avgörs av de TVÅ sista siffrorna: 116 är delbart med 4 eftersom 16 är det.
Delbart bara med 1 och sig självt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 …
Primtalsfaktorisering ger minsta gemensamma nämnare.
Exempel: 60 = 2² · 3 · 5.
Fallgrop: 1 är inte ett primtal, och 2 är det enda jämna.
22 formler
A = b · h
När du har två sidor i en rektangel eller kvadrat.
Exempel: En rektangel med sidorna 4 och 7 cm har arean 4 · 7 = 28 cm².
A = b · h / 2
Höjden är sträckan vinkelrätt mot basen, inte en av sidorna.
Exempel: Bas 10 cm och höjd 6 cm ger 10 · 6 / 2 = 30 cm².
Fallgrop: Halveringen är det som oftast faller bort. Är ditt svar exakt dubbelt så stort som ett annat alternativ är det förmodligen därför.
A = b · h
Samma som rektangeln — lutningen ändrar ingenting.
Exempel: Bas 8 cm och höjd 5 cm ger 40 cm².
Fallgrop: Höjden är inte den lutande sidan utan det vinkelräta avståndet.
A = πr²
Radien, aldrig diametern, sätts in i formeln.
Exempel: r = 3 cm ger A = 9π cm².
Fallgrop: Får du diametern måste den halveras först. Med d = 6 blir arean 9π, inte 36π.
O = 2πr = πd
Omkretsen växer linjärt med radien, arean med kvadraten.
Exempel: r = 3 cm ger O = 6π cm.
Fallgrop: Enheten avslöjar vilken formel som efterfrågas: omkrets i cm, area i cm².
a² + b² = c²
Bara i rätvinkliga trianglar. c är hypotenusan, den längsta sidan.
Exempel: Kateterna 3 och 4 ger c² = 9 + 16 = 25, alltså c = 5.
Fallgrop: Söker du en katet subtraheras kvadraterna: b² = c² − a².
v₁ + v₂ + v₃ = 180°
Gäller varje triangel, oavsett form.
Exempel: Två vinklar på 50° och 60° ger den tredje 180 − 110 = 70°.
Summan = 360°
Varje fyrhörning kan delas i två trianglar.
Exempel: Tre vinklar på 90°, 100° och 80° ger den fjärde 90°.
V = l · b · h
Tre mått multipliceras. Kuben är specialfallet där alla är lika.
Exempel: 2 · 3 · 4 cm ger 24 cm³.
V = πr² · h
Basytan gånger höjden — samma princip som rätblocket.
Exempel: r = 2 cm och h = 5 cm ger V = 20π cm³.
Längd ×k → area ×k², volym ×k³
När en figur förstoras med en faktor.
Exempel: Dubblas alla sidor blir arean fyra gånger så stor och volymen åtta.
Fallgrop: Det här är den vanligaste fällan i förstoringsuppgifter: arean växer inte lika snabbt som längden.
A = (a + b) / 2 · h
a och b är de två parallella sidorna, h avståndet mellan dem.
Exempel: Parallella sidor 6 och 10 cm och höjd 4 cm ger (6 + 10)/2 · 4 = 32 cm².
Fallgrop: Medelvärdet tas av de två PARALLELLA sidorna, inte av alla fyra.
A = d₁ · d₂ / 2
Diagonalerna, inte sidorna. Gäller varje figur med vinkelräta diagonaler.
Exempel: Diagonaler 6 och 8 cm ger 6 · 8 / 2 = 24 cm².
A = (v / 360) · πr²
En tårtbit: andelen av cirkeln är medelpunktsvinkeln delad med 360.
Exempel: 90° av en cirkel med r = 4 ger (90/360) · 16π = 4π.
b = (v / 360) · 2πr
Samma andel som sektorn, fast av omkretsen.
Exempel: 60° av en cirkel med r = 6 ger (60/360) · 12π = 2π.
Fallgrop: Bågen är en LÄNGD och sektorn en AREA — enheten avslöjar vilken som efterfrågas.
V = 4πr³ / 3
Sällsynt på provet, men dyker upp i jämförelser av kroppar.
Exempel: r = 3 ger V = 4π · 27 / 3 = 36π.
V = πr² · h / 3
Exakt en tredjedel av cylindern med samma bas och höjd.
Exempel: r = 3 och h = 4 ger 9π · 4 / 3 = 12π.
V = B · h / 3
B är basytan. Samma tredjedel som konen.
Exempel: Kvadratisk bas 6 × 6 och höjd 5 ger 36 · 5 / 3 = 60.
Fallgrop: h är den lodräta höjden till spetsen, inte sidoytans lutande höjd.
A = 2(lb + lh + bh)
Sex sidor, tre par som är lika stora två och två.
Exempel: Ett rätblock 2 · 3 · 4 har arean 2(6 + 8 + 12) = 52.
A = 2πr · h
Rulla ut manteln: en rektangel med omkretsen som bredd.
Exempel: r = 2 och h = 5 ger 4π · 5 = 20π.
Fallgrop: Hela begränsningsarean är manteln plus två cirklar: 2πrh + 2πr².
45–45–90: 1 : 1 : √2 30–60–90: 1 : √3 : 2
Halva kvadraten och halva den liksidiga triangeln.
Exempel: En kvadrat med sidan 5 har diagonalen 5√2.
Fallgrop: I 30–60–90 står √3 mot 60°-vinkeln, inte mot 30°.
Likbelägna vinklar och vertikalvinklar är lika · sidovinklar summerar till 180°
En linje som skär två parallella ger bara två olika vinkelstorlekar.
Exempel: Är en av vinklarna 70° är alla övriga antingen 70° eller 110°.
9 formler
andelen = delen / helheten
Svaret blir ett tal mellan 0 och 1 som görs om till procent.
Exempel: 12 av 50 är 12/50 = 0,24 = 24 %.
delen = andelen · helheten
Procenten skrivs som decimaltal först.
Exempel: 30 % av 250 är 0,30 · 250 = 75.
förändringen / DET GAMLA värdet
Alltid det gamla värdet i nämnaren, aldrig det nya.
Exempel: Från 200 till 250: förändringen är 50, och 50/200 = 25 %.
Fallgrop: Fel bas är det vanligaste felet i hela kvantdelen. Alternativet med det nya värdet i nämnaren finns nästan alltid med bland svaren.
+20 % → 1,20 −20 % → 0,80
Gör om varje procentsteg till en faktor och multiplicera dem.
Exempel: En höjning med 20 % och sedan en sänkning med 20 %: 1,2 · 0,8 = 0,96, alltså 4 % lägre än från början.
Fallgrop: Procent i led får aldrig adderas. En höjning och en lika stor sänkning tar inte ut varandra.
gamla = nya / faktorn
När du vet priset efter förändringen och söker priset före.
Exempel: Ett pris efter 25 % rabatt är 300 kr. Före: 300 / 0,75 = 400 kr.
Fallgrop: Att lägga på 25 % på 300 ger 375, inte 400 — man måste dividera med faktorn, inte multiplicera med den omvända procenten.
andelsskillnad = procentenheter
Går andelen från 20 % till 25 % är det 5 procentenheter — men en ökning med 25 procent.
Exempel: 5/20 = 0,25, alltså 25 % ökning.
Fallgrop: Frågan avgör vilket som efterfrågas. Läs den en gång till.
slutvärde = startvärde · faktorⁿ
Ränta på ränta, och allt annat som ändras lika mycket flera gånger.
Exempel: 1 000 kr med 10 % ränta i två år: 1 000 · 1,10² = 1 210 kr.
Fallgrop: Två år med 10 % är inte 20 %. Det andra årets ränta räknas på 1 100, inte på 1 000.
Faktorerna multipliceras
Först upp och sedan ner — eller tvärtom.
Exempel: +20 % och därefter −20 % ger 1,20 · 0,80 = 0,96, alltså 4 % LÄGRE än från början.
Fallgrop: Procenten tar inte ut varandra, och ordningen spelar ingen roll: man landar under startvärdet i båda fallen.
1 ‰ = 0,1 % = 0,001
Tusendelar i stället för hundradelar.
Exempel: 25 ‰ av 4 000 kr är 0,025 · 4 000 = 100 kr.
12 formler
Samla x på en sida, tal på den andra, dela med koefficienten
En term som flyttas över likhetstecknet byter tecken.
Exempel: 3x + 7 = 22 ger 3x = 15 och x = 5.
Addera eller subtrahera ekvationerna så att en variabel försvinner
Fungerar när samma variabel har samma eller motsatt koefficient.
Exempel: x + y = 10 och x − y = 4 ger 2x = 14, alltså x = 7 och y = 3.
Fallgrop: Läs frågan igen innan du svarar — den frågar ofta efter den andra variabeln.
(a + b)(a − b) = a² − b²
Snabbar upp huvudräkning med tal nära varandra.
Exempel: 98 · 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9 996.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Mittentermen är den som glöms bort.
Exempel: (x + 3)² = x² + 6x + 9.
Fallgrop: (a + b)² är inte a² + b². Testa med 3 och 4: 49 mot 25.
y = k · x
Dubbleras x så dubbleras y. Kvoten y/x är konstant.
Exempel: Kostar 3 kg 60 kr kostar 5 kg 100 kr, eftersom 60/3 = 20 kr per kg.
x · y = konstant
Fler som delar på ett arbete tar kortare tid.
Exempel: 4 personer på 6 timmar är 24 persontimmar; 3 personer behöver 8 timmar.
Fallgrop: Här dubbleras inte y när x dubbleras — det halveras.
y = kx + m
k är lutningen, m är där linjen skär y-axeln.
Exempel: y = 2x + 3 skär y-axeln i 3 och stiger 2 steg för varje steg åt höger.
Fallgrop: m är y-värdet när x = 0 — alltså skärningen med y-axeln, inte med x-axeln.
k = Δy / Δx = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Två punkter räcker för att bestämma en rät linje.
Exempel: Genom (1, 3) och (4, 9): k = (9 − 3) / (4 − 1) = 2.
Fallgrop: Samma ordning i båda parenteserna. Kastas den ena om blir tecknet fel.
Multiplikation eller division med ett NEGATIVT tal vänder olikhetstecknet
I övrigt räknas olikheter precis som ekvationer.
Exempel: −2x > 6 ger x < −3.
Fallgrop: Addition och subtraktion vänder aldrig tecknet — bara multiplikation och division med negativa tal.
x² + px + q = 0 → x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Andragradsekvationer som inte går att faktorisera direkt.
Exempel: x² − 5x + 6 = 0 ger x = 2,5 ± √(6,25 − 6) = 2,5 ± 0,5, alltså 2 och 3.
Fallgrop: Ekvationen måste först skrivas med en etta framför x². 2x² + 6x + 4 = 0 delas med 2 innan formeln används.
Är a · b = 0 så är a = 0 eller b = 0
Snabbare än pq-formeln när ekvationen går att faktorisera.
Exempel: x² − 3x = 0 → x(x − 3) = 0 → x = 0 eller x = 3.
Fallgrop: Dela aldrig bort x ur ekvationen. Då försvinner lösningen x = 0.
ab + ac = a(b + c)
Första steget i nästan varje förenkling.
Exempel: 6x + 9 = 3(2x + 3).
9 formler
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Samma bas, exponenterna adderas.
Exempel: 2² · 2³ = 4 · 8 = 32 = 2⁵.
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Samma bas, exponenterna subtraheras.
Exempel: 2⁵ / 2² = 32 / 4 = 8 = 2³.
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
Här multipliceras exponenterna — till skillnad från vid produkt.
Exempel: (2²)³ = 4³ = 64 = 2⁶.
Fallgrop: Blanda inte ihop med aᵐ · aⁿ, där de adderas.
a⁰ = 1 a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Gäller alla baser utom noll.
Exempel: 5⁰ = 1 och 2⁻³ = 1/8.
√a · √b = √(ab)
Rötter multipliceras — men adderas aldrig under rottecknet.
Exempel: √2 · √8 = √16 = 4.
Fallgrop: √a + √b är inte √(a+b). Testa med 9 och 16: 3 + 4 = 7, men √25 = 5.
10ⁿ flyttar decimaltecknet n steg
Snabbaste sättet att hålla ordning på nollor.
Exempel: 3,2 · 10⁴ = 32 000.
a · 10ⁿ där 1 ≤ a < 10
Stora och små tal blir jämförbara.
Exempel: 45 000 = 4,5 · 10⁴ och 0,0032 = 3,2 · 10⁻³.
√(a · b) = √a · √b
Bryt ut den största kvadraten ur talet under roten.
Exempel: √50 = √25 · √2 = 5√2.
Fallgrop: √(a + b) är INTE √a + √b. √(9 + 16) = √25 = 5, inte 3 + 4 = 7.
a^(1/2) = √a
Sällsynt, men förekommer i KVA-jämförelser.
Exempel: 9^(1/2) = 3.
9 formler
summan / antalet
Påverkas av extremvärden.
Exempel: Talen 4, 6 och 11 har medelvärdet 21/3 = 7.
summan = medelvärdet · antalet
Vägen in i alla uppgifter där ett tal saknas.
Exempel: Fyra tal med medelvärdet 12 har summan 48.
Mittersta talet i en SORTERAD lista
Vid jämnt antal är det medelvärdet av de två i mitten.
Exempel: 3, 5, 9, 14, 20 har medianen 9.
Fallgrop: Sorteringen går inte att hoppa över. Det mittersta talet i listan som den står är sällan medianen.
Det vanligaste värdet
Kan vara flera, och behöver inte ligga i mitten.
Exempel: I 2, 3, 3, 7 är typvärdet 3.
största − minsta
Ett grovt mått på spridning.
Exempel: 3, 5, 20 har variationsbredden 17.
summan av ALLA värden / totala antalet
När två grupper av olika storlek slås ihop.
Exempel: 10 elever med snittet 4 och 20 med snittet 7 ger (40 + 140) / 30 = 6.
Fallgrop: Medelvärdet av medelvärdena är fel när grupperna är olika stora — här hade det gett 5,5 i stället för 6.
index = (värdet / basårets värde) · 100
Basåret sätts till 100 och allt annat jämförs med det.
Exempel: Basåret 200 kr och i år 250 kr ger index 125.
Fallgrop: Index 125 betyder 25 % högre än basåret, inte 125 % högre.
hela cirkeln = 360° = 100 %
Läsa av en sektor i ett diagram.
Exempel: En sektor på 90° är 90/360 = 25 % av helheten.
Medianen delar materialet i två halvor; kvartilerna delar varje halva på mitten
I ett lådagram är lådans kanter första och tredje kvartilen.
Exempel: I 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 är medianen 7, Q₁ = 3 och Q₃ = 11.
11 formler
gynnsamma / möjliga
Förutsätter att utfallen är lika sannolika.
Exempel: Att slå en sexa: 1/6.
P(A och B) = P(A) · P(B)
Gäller när händelserna är oberoende.
Exempel: Två sexor i rad: 1/6 · 1/6 = 1/36.
P(A eller B) = P(A) + P(B)
Gäller när de inte kan inträffa samtidigt.
Exempel: En etta eller en sexa: 1/6 + 1/6 = 1/3.
P(inte A) = 1 − P(A)
Ofta genvägen vid 'minst en'.
Exempel: Minst en sexa på två kast: 1 − (5/6)² = 11/36.
Fallgrop: Att räkna 'minst en' direkt leder nästan alltid fel. Räkna 'ingen' och dra från ett.
Nämnaren minskar med ett för varje dragning
När det dragna inte läggs tillbaka.
Exempel: Två röda ur 3 röda och 2 blå: 3/5 · 2/4 = 3/10.
Antal sätt = n₁ · n₂ · …
När ett val görs av varje sort.
Exempel: 4 tröjor och 3 byxor ger 12 kombinationer.
n(n − 1) / 2
Handskakningar, matcher, sträckor mellan punkter.
Exempel: 6 personer ger 6 · 5 / 2 = 15 handskakningar.
Fallgrop: Halveringen finns där för att paret AB är samma sak som BA.
P(A eller B) = P(A) + P(B) − P(A och B)
Måste användas så fort A och B kan inträffa samtidigt.
Exempel: Ett kort som är hjärter eller kung: 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52.
Fallgrop: Glöms överlappningen räknas samma utfall två gånger och svaret blir för högt. Hjärter kung finns bara en gång.
P(minst en) = 1 − P(ingen)
Nästan alltid enklare än att summera alla gynnsamma fall.
Exempel: Minst en sexa på två kast: 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36.
Fallgrop: Två kast ger inte 1/6 + 1/6 = 1/3. Det räknar dubbelsexan två gånger; rätt svar är 11/36, inte 12/36.
n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1
Hur många sätt n saker kan ställas i rad.
Exempel: 4 böcker kan ställas på 4! = 24 sätt.
n! / (k! · (n − k)!)
Sällsynt på provet — men det är formeln bakom n(n − 1)/2 för par.
Exempel: Välja 2 av 6: 6! / (2! · 4!) = 15, samma som 6 · 5 / 2.
10 formler
1 km = 1 000 m = 100 000 cm
Grunden för alla skaluppgifter.
Exempel: 2,5 km = 2 500 m.
1 m² = 10 000 cm²
Faktorn kvadreras: 100 gånger i längd blir 10 000 i area.
Exempel: 3 m² = 30 000 cm².
Fallgrop: Att räkna med 100 i stället för 10 000 är det klassiska felet.
1 m³ = 1 000 liter = 1 000 000 cm³
En liter är en kubikdecimeter.
Exempel: 0,5 m³ = 500 liter.
verkligt = kartavstånd · skaltalet
Svaret hamnar först i samma enhet som kartavståndet.
Exempel: 3 cm på skalan 1:50 000 är 150 000 cm = 1,5 km.
Fallgrop: Nästan alla fel här är faktor 10, 100 eller 1 000 — inte metodfel.
s = v · t
Tiden måste vara i samma enhet som hastigheten anger.
Exempel: 60 km/h i 45 minuter: 45/60 = 0,75 h, alltså 45 km.
Fallgrop: Minuter insatta rakt av ger ett svar 60 gånger för stort.
total sträcka / total tid
Aldrig medelvärdet av två hastigheter.
Exempel: 10 km i 30 min och 10 km i 60 min: 20 km / 1,5 h ≈ 13,3 km/h — inte 15.
Fallgrop: Medelvärdet av hastigheterna är fel så snart sträckorna tar olika lång tid.
1 h = 60 min, så 0,5 h = 30 min och 1,25 h = 1 h 15 min
Tid räknas i sextiondelar, inte i tiondelar.
Exempel: 2 h 45 min är 2,75 h — inte 2,45 h.
Fallgrop: Den här förväxlingen ligger nästan alltid bland svarsalternativen i hastighetsuppgifter.
1 ton = 1 000 kg = 1 000 000 g
Samma tusenstegsprincip som för längd.
Exempel: 250 g är 0,25 kg.
Lägg ihop hastigheterna, aldrig tiderna
A gör jobbet på a timmar och B på b timmar — räkna per timme.
Exempel: 3 h och 6 h ger 1/3 + 1/6 = 1/2 av jobbet per timme, alltså 2 timmar tillsammans.
Fallgrop: Medelvärdet av tiderna är fel: det hade gett 4,5 timmar i stället för 2, alltså längre tid än den snabbaste behöver ensam.
pris / mängd
Enda sättet att jämföra förpackningar av olika storlek.
Exempel: 36 kr för 1,5 kg är 24 kr/kg.